2. GRFICAS DE FUNCIONES GENERATRICES Funcin lineal Funcin devalor absoluto Funcin raz cuadrada Dominio: Dominio: Dominio:Rango: Rango: Rango: Intercepcin x: Intercepcin: Intercepcin:Intercepcin y: Decreciente en Creciente en Creciente cuandoCreciente en Decreciente cuando Funcin par Simetra con eje y Funcinde mximo Funcin cuadrtica entero (elevar al cuadrado) Funcin cbicaDominio: Dominio: Dominio: Rango: el conjunto de los enteros Rango: Rango: Intercepciones x: en el intervalo Rango : Intercepcin:Intercepcin y: Intercepcin: Creciente en Constante entre cada parde enteros Decreciente en para Funcin impar consecutivos Crecienteen para Simetra en el origen Salta verticalmente una unidadCreciente en para en cada valor entero Decreciente en para Funcinpar Simetra con eje y Mnimo relativo mximo relativo o vrtice: 0, 0fx mx b fx x x, x, x 0 x 0 f(x) = mx + b, m 0 0, m 02 f(x) = ax , a 0 0, , 0, 1 a 0 0, a > 0 , 0 a 0, a 0, a 1fx ax, a > 0, a 1fx 1 xDominio: Rango: Periodo: Intercepciones x: Intercepciones y: Funcinimpar Simetra en el origen 0, 0 n, 0 2 1, 1 , Dominio: Rango:Periodo: Intercepciones x: Intercepciones y: Funcin par Simetra coneje y 0, 1 2 n, 0 2 1, 1 , www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 4. Funcin cosecante Funcin secante Funcincotangente Dominio: toda Rango: Periodo: No hay intercepcionesAsntotas verticales: Funcin impar Simetra en el origen Funcin senoinversa Funcin coseno inversa Funcin tangente inversa Dominio:Rango: Intercepcin: Funcin impar Simetra en el origen fx arccos xfxarcsen x 0, 0 2 , 2 1, 1 x n 2 x n fx cot xfx sec x x y 12 1 2 f(x)= arctan x 2 2 x y 1 1 f(x) = arccos x x y 1 1 2 2 f(x) = arcsen xfx arctan x , 1 1, 2 1 3 2 2 f(x) = cot x = x y 2 1 tan x 2 2 3 3 22 x y 3 2 2 f(x) = sec x = 1 cos x 2 1 3 2 f(x) = csc x = x y 2 1sen x fx csc x Dominio: toda Rango: Periodo: Intercepcin y:Asntotas verticales: Funcin par Simetra con eje y x 2 n 0, 1 , 1 1,x 2 n 2 Dominio: toda Rango: Periodo: Intercepciones x: Asntotasverticales: Funcin impar Simetra en el origen x n 2 n, 0 x n ,Dominio: Rango: Intercepcin y: 1, 1 0, 2 0, Dominio: Rango:Intercepcin: Asntotas horizontales: Funcin impar Simetra en elorigen y 2 0, 0 2 , 2 , www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 5. www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 6. Preclculo Octava edicin Ron Larson ThePennsylvania State University The Behrend College Con la asistenciade David C. Falvo The Pennsylvania State University The BehrendCollege Traduccin Jorge Humberto Romo Muoz Traductor profesionalRevisin tcnica Dr. Ernesto Filio Lpez Unidad Profesional enIngeniera y Tecnologas Avanzadas Instituto Politcnico Nacional M.en C. Manuel Robles Bernal Escuela Superior de Fsica y MatemticasInstituto Politcnico Nacional Australia Brasil Corea Espaa EstadosUnidos Japn Mxico Reino Unido Singapur www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 7. D.R. 2012 por Cengage Learning Editores,S.A. de C.V., una Compaa de Cengage Learning, Inc. CorporativoSanta Fe Av. Santa Fe nm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa FeC.P. 05349, Mxico, D.F. Cengage Learning es una marca registradausada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de estetrabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podr serreproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier formao por cualquier medio, ya sea grfico, electrnico o mecnico,incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado,reproduccin, escaneo, digitalizacin, grabacin en audio, distribucinen Internet, distribucin en redes de informacin o almacenamiento yrecopilacin en sistemas de informacin, a excepcin de lo permitidoen el Captulo III, Artculo 27, de la Ley Federal del Derecho deAutor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducidodel libro: Precalculus, Eighth edition Ron Larson/David C. FalvoPublicado en ingls por Brooks/Cole/Cengage Learning 2011 ISBN 13:978-1-4390-4577-0 Datos para catalogacin bibliogrfica: Larson,Ron/David C. Falvo Preclculo, Octava edicin ISBN 13:978-607-481-761-4 Visite nuestro sitio en: Preclculo, Octava edicin RonLarson/David C. Falvo Presidente de Cengage Learning LatinoamricaFernando Valenzuela Migoya Director de producto y desarrolloLatinoamrica Daniel Oti Yvonnet Director editorial y de produccinLatinoamrica Ral D. Zendejas Espejel Editor Sergio R. CervantesGonzlez Coordinadora de produccin editorial Abril Vega OrozcoEditora de produccin Gloria Luz Olgun Sarmiento Coordinador demanufactura Rafael Prez Gonzlez Diseo de portada Harold BurchImagen de portada Richard Edelman/Woodstock Graphics StudioComposicin tipogrfica Imagen Editorial Impreso en Mxico 1 2 3 4 5 67 14 13 12 11 ISBN 1 : 607-481-761-0 8 www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 8. Unas palabras del autor (Prefacio) viiFunciones y sus grficas 1 1.1 Coordenadas rectangulares 2 1.2Grficas de ecuaciones 13 1.3 Ecuaciones lineales con dos variables24 1.4 Funciones 39 1.5 Anlisis de grficas de funciones 54 1.6Biblioteca de funciones principales 66 1.7 Transformaciones defunciones 73 1.8 Combinaciones de funciones: funciones compuestas83 1.9 Funciones inversas 92 1.10 Modelado y variacin matemticos102 Resumen del captulo 114 Ejercicios de repaso 116 Examen delcaptulo 121 Demostraciones en matemticas 122 Resolucin de problemas123 Funciones racionales y polinomiales 125 2.1 Funciones y modeloscuadrticos 126 2.2 Funciones polinomiales de grado superior 136 2.3Divisin de polinomios y sinttica 150 2.4 Nmeros complejos 159 2.5Ceros de funciones polinomiales 166 2.6 Funciones racionales 1812.7 Desigualdades no lineales 194 Resumen del captulo 204Ejercicios de repaso 206 Examen del captulo 210 Demostraciones enmatemticas 211 Resolucin de problemas 213 Funciones exponenciales ylogartmicas 215 3.1 Funciones exponenciales y sus grficas 216 3.2Funciones logartmicas y sus grficas 227 3.3 Propiedades de loslogaritmos 237 3.4 Ecuaciones exponenciales y logartmicas 244Contenido Captulo 1 Captulo 2 Captulo 3 www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 9. iv Preclculo 3.5 Modelos exponenciales ylogartmicos 255 Resumen del captulo 268 Ejercicios de repaso 270Examen del captulo 273 Examen acumulativo para los captulos 1 a 3274 Demostraciones en matemticas 276 Resolucin de problemas 277Trigonometra 279 4.1 Medidas en radianes y grados 280 4.2 Funcionestrigonomtricas: la circunferencia unitaria 292 4.3 Trigonometra deltringulo rectngulo 299 4.4 Funciones trigonomtricas de cualquierngulo 310 4.5 Grficas de las funciones seno y coseno 319 4.6Grficas de otras funciones trigonomtricas 330 4.7 Funcionestrigonomtricas inversas 341 4.8 Aplicaciones y modelos 351 Resumendel captulo 362 Ejercicios de repaso 364 Examen del captulo 367Demostraciones en matemticas 368 Resolucin de problemas 369Trigonometra analtica 371 5.1 Uso de identidades fundamentales 3725.2 Comprobacin de identidades trigonomtricas 380 5.3 Solucin deecuaciones trigonomtricas 387 5.4 Frmulas de suma y diferencia 3985.5 Frmulas de ngulos mltiples y de producto a suma 405 Resumen delcaptulo 416 Ejercicios de repaso 418 Examen del captulo 421Demostraciones en matemticas 422 Resolucin de problemas 425 Temasadicionales de trigonometra 427 6.1 Ley de los senos 428 6.2 Ley delos cosenos 437 6.3 Vectores en el plano 445 6.4 Vectores yproducto punto 458 6.5 Forma trigonomtrica de un nmero complejo 468Resumen del captulo 478 Ejercicios de repaso 480 Examen del captulo484 Examen acumulativo para los captulos 4 a 6 485 Demostracionesen matemticas 487 Resolucin de problemas 491 Captulo 4 Captulo 5Captulo 6 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 10.Contenido v Sistemas de ecuaciones y desigualdades 493 7.1 Sistemasde ecuaciones lineales y no lineales 494 7.2 Sistemas lineales dedos variables 505 7.3 Sistemas lineales de varias variables 517 7.4Fracciones parciales 530 7.5 Sistemas de desigualdades 538 7.6Programacin lineal 549 Resumen del captulo 558 Ejercicios de repaso560 Examen del captulo 565 Demostraciones en matemticas 566Resolucin de problemas 567 Matrices y determinantes 569 8.1Matrices y sistemas de ecuaciones 570 8.2 Operaciones con matrices584 8.3 Inversa de una matriz cuadrada 599 8.4 Determinante de unamatriz cuadrada 608 8.5 Aplicaciones de matrices y determinantes616 Resumen del captulo 628 Ejercicios de repaso 630 Examen delcaptulo 635 Demostraciones en matemticas 636 Resolucin de problemas637 Sucesiones, series y probabilidad 639 9.1 Sucesiones y series640 9.2 Sucesiones aritmticas y sumas parciales 651 9.3 Sucesionesgeomtricas y series 661 9.4 Induccin matemtica 671 9.5 El teoremadel binomio 681 9.6 Principios de conteo 689 9.7 Probabilidad 699Resumen del captulo 712 Ejercicios de repaso 714 Examen del captulo717 Examen acumulativo para los captulos 7 a 9 718 Demostracionesen matemticas 720 Resolucin de problemas 723 Captulo 7 Captulo 8Captulo 9 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 11. viPreclculo Temas de geometra analtica 725 10.1 Rectas 726 10.2Introduccin a las cnicas: parbolas 733 10.3 Elipses 742 10.4Hiprbolas 751 10.5 Rotacin de cnicas 761 10.6 Ecuacionesparamtricas 769 10.7 Coordenadas polares 777 10.8 Grficas deecuaciones polares 783 10.9 Ecuaciones polares de cnicas 791Resumen del captulo 798 Ejercicios de repaso 800 Examen del captulo803 Demostraciones en matemticas 804 Resolucin de problemas 807Apndice A Repaso de conceptos fundamentales de lgebra A1 A.1 Nmerosreales y sus propiedades A1 A.2 Exponentes y radicales A14 A.3Polinomios y factorizacin A27 A.4 Expresiones racionales A39 A.5Resolucin de ecuaciones A49 A.6 Desigualdades lineales con unavariable A63 A.7 Errores y el lgebra del clculo A73 Respuestas aejercicios impares y exmenes A81 ndice A199 ndice de aplicaciones(web) Apndice B Conceptos de estadstica (web) B.1 Representacin dedatos B.2 Medidas de tendencia central y dispersin centrales B.3Regresin de mnimos cuadrados Captulo 10 www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 12. Bienvenidos a la octava edicin dePreclculo. Estamos orgullosos de ofrecerles una versin nueva ycorregida de nuestro libro. En cada edicin, les hemos escuchado austedes, nuestros usuarios, y hemos incorporado muchas de lassugerencias que recibi- mos para mejorar la edicin. En esta octavaedicin continuamos ofreciendo a maestros y estudiantes un textosli- do desde el punto de vista pedaggico, matemticamente preciso yfcil de leer. Hay numerosos cambios en las matemticas, figuras ydiseo; veamos a continuacin los ms significativos. Nuevos iniciosde captulo Cada Principio de captulo tiene tres partes. En Mate-mticas describe un tema matemtico importante que se imparte en elcaptulo. En la vida real indica a los estudiantes dnde hallar estetema en situaciones reales. En carreras relaciona ejercicios deaplicacin con varias profesiones. Nuevas sugerencias de estudio yadvertencia/atencin En dos secciones nuevas damos informacin til alos estudiantes. Los Tips de estudio les dan informacin til osugerencias para aprender el tema. Las Advertencia/Atencin sealanerrores matemticos comunes en que incurren los estudiantes. NuevasAyudas de lgebra dirigen a los estudiantes a secciones del textodonde pueden repasar conceptos de lgebra necesarios para dominar eltema expuesto. Nuevos ejemplos uno al lado del otro En todo eltexto presentamos soluciones a numerosos ejemplos desde mltiplesperspectivas, ya sea algebraica, grfica o numricamente. El formatolado a lado de esta caracterstica pedaggica ayuda a los estudiantesa ver que un problema puede ser resuelto en ms de una forma y quediferentes mtodos dan el mismo resultado. El formato lado a ladotambin permite el estudio mediante diferentes estilos de aprender.Nuevas secciones de Toque final Son problemas conceptuales quesintetizan temas clave y dan a los estudiantes una mejor comprensinde los conceptos expuestos en cada seccin. Estos ejercicios sonexcelentes para estudiar en clase o como preparacin para exmenes;los profesores pueden considerarlos valiosos para integrarlos ensus repasos de la seccin. Nuevos Resmenes del captulo El Resumendel captulo ahora incluye una expli- cacin o un ejemplo de cadatema impartido en el captulo. Conjuntos de ejercicios revisados Losconjuntos de ejercicios han sido examina- dos cuidadosa yextensamente para asegurar que sean rigurosos y comprendan todoslos temas sugeridos por nuestros usuarios. Se han agregadoinnumerables ejercicios, algunos de alto grado de dificultad, paraaumentar el conocimiento. Durante los ltimos aos hemos mantenido unsitio web independiente, CalcChat.com, que contiene resolucionesgratuitas a los ejercicios impares en el texto. Miles deestudiantes que utilizan nuestros libros han visitado el sitio parapracticar y ayudarse en sus tareas. Para la octava edicin, nos fueposible usar informacin del Unas palabras del autorwww.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 13. CalcChat.com,incluyendo a cules soluciones los estudiantes acceden con ms fre-cuencia, para ayudar a guiar la revisin de los ejercicios. Esperoque usted, lector, disfrute de la octava edicin de Preclculo. Comosiem- pre, dar la bienvenida a sus comentarios y sugerencias parahacer mejoras continuas. Ron Larson viii Preclculowww.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 14. Me gustaraagradecer a muchas personas que me han ayudado a preparar el textoy el paquete de suplementos. Sus estmulos, crticas y sugerencias mehan sido de gran valor. Agradezco a todos los profesores que setomaron tiempo para revisar los cambios en esta edicin y para darsugerencias para mejorarla. Sin su ayuda, este libro no hubie- rasido posible. Revisores Chad Pierson, University ofMinnesota-Duluth; Sally Shao, Cleveland State University; EdStumpf, Central Carolina Community College; Fuzhen Zhang, NovaSoutheastern University; Dennis Shepherd, University of Colorado,Denver; Rhonda Kilgo, Jacksonville State University; C. Altayzgener, Manatee Community College Bradenton; William Forrest, BatonRouge Community College; Tracy Cook, University of TennesseeKnoxville; Charles Hale, California State Poly University Pomona;Samuel Evers, University of Alabama; Seongchun Kwon, University ofToledo; Dr. Arun K. Agarwal, Grambling State University; HyounkyunOh, Savannah State University; Michael J. McConnell, ClarionUniversity; Martha Chalhoub, Collin County Community College;Angela Lee Everett, Chattanooga State Tech Community College;Heather Van Dyke, Walla Walla Community College; Gregory Buthusiem,Burlington County Community College; Ward Shaffer, College ofCoastal Georgia; Carmen Thomas, Chatham University; Emily J.Keaton. Doy muchas gracias a David Falvo, The Beherend College, ThePennsylvania State University, por sus aportaciones a esteproyecto. Muchas gracias tambin a Robert Hostetler, The BehrendCollege, The Pennsylvania State University, y a Bruce Edwards,University of Florida, por sus importantes contribuciones aediciones previas de este texto. Tambin me gustara dar las graciasa Larson Texts, Inc. que contribuy con la lec- tura de pruebas delmanuscrito, la elaboracin y revisin del paquete de figuras, as comola revisin y tipografa de los suplementos. En el nivel personal,estoy muy agradecido a mi esposa, Deanna Gilbert Larson, por suamor, paciencia y apoyo. Tambin, gracias especiales a R. ScottONeil. Si usted tiene alguna sugerencia para mejorar este texto,por favor sintase en libertad de escri- birme. En las dos dcadaspasadas he recibido innumerables comentarios tiles tanto demaestros como de estudiantes, a los que tengo en gran estima. RonLarson Reconocimientos www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 15. Suplementos para el profesor (en ingls)Annotated Instructors Edition (AIE) (edicin del profesor) Esta AIEes el texto completo para el estudiante ms anotaciones puntualespara el profesor, incluidos pro- yectos adicionales, actividades enclase, estrategias de enseanza y ejemplos adiciona- les. Tambinincluye respuestas a ejercicios de nmero impar del texto,revisiones de vocabulario y exploraciones. Complete SolutionsManual (manual con soluciones completas) Este manual contie- nesoluciones a todos los ejercicios del texto, incluidos losejercicios de repaso del cap- tulo y exmenes de captulo.Instructors Companion Website (sitio web adjunto del profesor) Estesitio web adjunto, gratuito, contiene abundantes recursos para elprofesor. PowerLecture with ExamView El CD-ROM provee al profesorcon herramientas dinmicas de medios para ensear lgebrauniversitaria. Estn disponibles transparen- cias de presentacionesen PowerPoint, as como transparencias de las figuras del texto,junto con archivos electrnicos para el banco de exmenes y un enlaceal Solution Builder. El ExamView algortmico permite crear, entregary personalizar exmenes (tanto impresos como en lnea) en minutos.Mejore la interaccin de sus estudiantes con usted, su clase y entreellos. Solutions Builder (formador de soluciones) sta es una versinelectrnica del manual de resoluciones completas va el sitio webPowerLecture y el Instructors Companion. Da a los profesores unmtodo eficiente para crear conjuntos de solucio- nes a tareas oexmenes que pueden imprimirse o pegarse. Online AIE para la guapara tomar notas Esta AIE incluye las respuestas a todos losproblemas de la innovadora Note Taking Guide (gua para tomarnotas). Suplementos www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net16. Suplementos xi Suplementos para el estudiante (en ingls)Student Companion Website Este sitio web gratuito contieneabundancia de recursos para el estudiante. Instructional DVDsRelacionados al texto por seccin, estos DVD hacen una cober- turacompleta del curso, junto con explicaciones adicionales deconceptos, problemas de muestra y aplicaciones, para ayudar a queel estudiante repase temas esenciales. Student Study and SolutionsManual Esta gua ofrece soluciones paso a paso para todos losejercicios impares del texto, exmenes del captulo y acumulativos,as como exmenes de prctica con resoluciones. Premium eBook ElPremium eBook ofrece una versin interactiva del libro concaractersticas de bsqueda, destacando herramientas para tomar notasy ligas directas a vdeos o material didctico que ampla lasexposiciones del texto. Enhanced WebAssign El Enhanced WebAssignest diseado para que el estudiante haga sus tareas en lnea. Estedemostrado y confiable sistema utiliza pedagoga y con- tenidos quese encuentran en el texto de Larson, y los mejora para ayudar allector a aprender preclculo de manera ms eficiente. Las tareascalificadas automticamente ayudan al lector a centrarse en suaprendizaje y obtener ayuda interactiva de estudio fuera de clase.Note Taking Guide sta es una innovadora ayuda de estudio, hecha enforma de orga- nizador de apuntes, que ayuda a estudiantes adesarrollar un resumen de conceptos clave seccin por seccin.www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 17.www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 18. 1Funciones y susgrficas 1.1 Coordenadas rectangulares 1.2 Grficas de ecuaciones 1.3Ecuaciones lineales con dos variables 1.4 Funciones 1.5 Anlisis degrficas de funciones 1.6 Biblioteca de funciones principales (ogeneratrices) 1.7 Transformaciones de funciones 1.9 Funcionesinversas 1.8 Combinaciones de funciones: 1.10 Modelado y variacinmatemticos funciones compuestas En matemticas Las funcionesmuestran la forma en que una variable est relacionada con otravariable. En la vida real Las funciones se usan para calcularvalores, simular procesos y descubrir relaciones. Por ejemplo, sepuede modelar la variacin de inscripciones de nios en preescolar ycalcular el ao en que alcanzar cierto nmero. Ese clculo se puedeusar para planear medidas a fin de satisfacer necesidades futuras,como contratar ms profesores y comprar ms libros. (Vea Ejercicio113, pgina 64.) EN CARRERAS Las funciones se usan en muchascarreras, entre ellas, en las siguientes: Analista financieroEjercicio 95, pgina 51 Bilogo Ejercicio 73, pgina 91 Preparador deimpuestos Ejercicio 3, pgina 104 Oceangrafo Ejercicio 83, pgina 1121 JoseLuisPelaez/GettyImages www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 19. Plano cartesiano En la misma forma enque se pueden representar nmeros por medio de puntos en una rectanumrica, se pueden representar pares ordenados de nmeros reales pormedio de puntos en un plano llamado sistema de coordenadasrectangulares, o plano carte- siano, designado as en honor almatemtico francs Ren Descartes (1596-1650). El plano cartesiano seforma mediante dos rectas numricas que se intersecan en ngulosrectos, como se ve en la Figura 1.1. La recta horizontal suelerecibir el nombre de eje x, y la vertical suele denominarse eje y.El punto de interseccin de estos dos ejes es el origen y los dosejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. FIGURA1.1 FIGURA 1.2 Cada punto del plano corresponde a un par ordenadode nmeros reales x y y, llamados coordenadas del punto. Lacoordenada x representa la distancia dirigida desde el eje y alpunto, y la coordenada y representa la distancia dirigida desde eleje x al punto, como se ilustra en la Figura 1.2. La notacin denotaun punto en el plano y un intervalo abierto en la recta numricareal. El contexto nos dir cul es el significado que se busca.Localizar puntos en el plano cartesiano Localice los puntos ySolucin Para localizar el punto imagine una recta vertical que pasepor sobre el eje x y una recta horizontal que pase por 2 en el eje. La interseccin de estas dos rectas es el punto Los otros cuatropuntos se pueden localizar en la misma forma, como se ve en laFigura 1.3. Ahora trate de hacer el Ejercicio 7. x, y (x, y)Ejemplo 1 1, 2. y 11, 2, 2, 3.1, 2, 3, 4, 0, 0, 3, 0 Distanciadirigida desde el eje x x, yDistancia dirigida desde el eje y eje x(x, y) x y Distancia dirigida Distancia dirigida eje y 3 2 1 11 2 31 2 3 1 2 3 (Recta numrica vertical) (Recta numrica horizontal)Cuadrante II eje y eje x Cuadrante III Cuadrante IV OrigenCuadrante I 2 Captulo 1 Funciones y sus grficas 1.1 COORDENADASRECTANGULARES Lo que debe aprender Localizar puntos en el planocartesiano Usar la frmula de la distancia para hallar la distanciaentre dos puntos. Usar la frmula del punto medio para hallar elpunto medio de un segmento de recta. Usar un plano de coordenadaspara modelar y resolver problemas reales. Por qu debe aprenderlo Elplano cartesiano se puede usar para representar relaciones entredos variables. Por ejemplo, en el Ejercicio 70 de la pgina 11, unagrfica representa el salario mnimo en Estados Unidos de 1950 a2009. 1 3 4 1 2 4 (3, 4) x 4 3 1 1 32 4 (3, 0)(0, 0) ( 1, 2) ( 2,3) y FIGURA 1.3 ArielSkelly/Corbis www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 20. Seccin 1.1 Coordenadas rectangulares 3La belleza de un sistema de coordenadas rectangulares es quepermite ver rela- ciones entre dos variables. Sera difcil exagerarla importancia de que Descartes haya introducido coordenadas en elplano. Hoy en da, sus ideas estn en uso comn en prc- ticamentetodos los campos cientficos y los relacionados con negocios. Trazaruna grfica de dispersin De 1994 a 2007, el nmero (en millones) desuscriptores a un servicio de telefona celular en Estados Unidos seve en la tabla, donde t representa el ao. Trace una grfi- ca dedispersin de los datos. (Fuente: CTIA-The Wireless Association)Solucin Para trazar una grfica de dispersin de los datos mostradosen la tabla, simplemente representamos cada par de valores pormedio de un par ordenado y localizamos los puntos resultantes, comose ve en la Figura 1.4. Por ejemplo, el primer par de va- lores estrepresentado por el par ordenado (1994, 24.1). Observe que el picoen el eje t indica que los nmeros entre 0 y 1994 han sido omitidos.FIGURA 1.4 Ahora trate de hacer el Ejercicio 25. En el Ejemplo 2,se podra hacer que represente el ao 1994. En ese caso, el ejehorizontal no hubiera mostrado el pico y las marcas de divisinhubieran estado rotuladas del 1 al 14 (en lugar de 1994 a 2007). t1 t, N N Ejemplo 2 1994 1996 50 100 150 200 250 300 1998 2000 20022004 2006 Ao Nmerodesuscriptores (enmillones) Suscriptores a unservicio de telefona celular t N TECNOLOGA La grfica de dispersindel Ejemplo 2 es slo una forma de representar los datos. Tambin sepueden representar datos si se usa una grfica de barras o una derectas. Si usted tiene acceso a una calculadora de grficas, tratede usarla para representar los datos dados en el Ejemplo 2. Ao, tSuscriptores, N 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 20032004 2005 2006 2007 24.1 33.8 44.0 55.3 69.2 86.0 109.5 128.4 140.8158.7 182.1 207.9 233.0 255.4 www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 21. Teorema de Pitgoras y la frmula de ladistancia El famoso teorema que sigue se emplea extensamente entodo este curso. Supongamos que se desea determinar la distanciaentre dos puntos y del plano. Con estos dos puntos puede formarseun tringulo rectngulo, como se ve en la Figura 1.6. La longitud dellado vertical del tringulo es y la lon- gitud del lado horizontales Por el teorema de Pitgoras, podemos escribir Este resultado esla frmula de la distancia. d x2 x12 y2 y12.d x2 x12 y2 y12 d2 x2x12 y2 y12 x2 x1. y2 y1, x2, y2 x1, y1 4 Captulo 1 Funciones y susgrficas Teorema de Pitgoras Para un tringulo rectngulo conhipotenusa de longitud y lados de longitudes y tenemos que como semuestra en la Figura 1.5. (Lo contrario tambin es cierto, es decir,si entonces el tringulo es rectngulo.)a2 b2 c2, a2 b2 c2,b, acFrmula de la distancia La distancia entre los puntos y en el planoesd d x2 x12 y2 y12 . x2, y2 x1, y1 Solucin grfica Utilice papelcuadriculado en centmetros para graficar los puntos y Con todocuidado trace el seg- mento de recta de A a B y, a continuacin, useuna regla en centmetros para medir la longitud del segmento. FIGURA1.7 El segmento de recta mide 5.8 centmetros, aproximada- mente,como se ve en la Figura 1.7. Por tanto, la distancia entre lospuntos es alrededor de 5.8 unidades. 1 2 3 4 5 6 7 cm B3, 4.A2, 1Hallar una distancia Encuentre la distancia entre los puntos y 3,4.2, 1 Ejemplo 3 Solucin algebraica Sea y Aplicando la frmu- la dela distancia, Frmula de la distancia Simplificar. Simplificar. Usarcalculadora. Entonces, la distancia entre los puntos es alrededorde 5.83 unidades. Se puede usar el teorema de Pitgoras paraverificar que la distancia es correcta. Teorema de PitgorasSustituir por d. Prueba de distancias.Ahora trate de hacer elEjercicio 31. 34 34 34 2 ? 32 52 d2 ? 32 52 5.83 34 52 32 3 22 4 12d x2 x12 y2 y12 x2, y2 3, 4.x1, y1 2, 1 Sustituir por x1, y1, x2 yy2. a b c a2 + b2 = c2 FIGURA 1.5 x x1 x2 x x2 1 y y2 1 y 1 y 2 d(x , y )1 2 (x , y )1 1 (x , y )2 2 y FIGURA 1.6www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 22. Seccin 1.1Coordenadas rectangulares 5 Verificar un tringulo rectnguloDemuestre que los puntos y son vrtices de un tringulo rectngulo.Solucin Los tres puntos estn localizados en la Figura 1.8. Con lafrmula de la distancia se puede hallar la longitud de los treslados, como sigue: Como se puede concluir, por el teorema dePitgoras, que el tringulo debe ser rectngulo. Ahora trate de hacerel Ejercicio 43. Frmula del punto medio Para hallar el punto mediodel segmento de recta que une dos puntos en un plano decoordenadas, simplemente se encuentran los valores promedio de lasrespectivas coor- denadas de los dos puntos de extremo usando lafrmula del punto medio. Para una demostracin de la frmula del puntomedio, vea Demostraciones en mate- mticas en la pgina 122. Hallarel punto medio de un segmento de recta Encuentre el punto medio delsegmento de recta que une los puntos y Solucin Sea y Frmula delpunto medio Sustituir por Simplificar. El punto medio del segmentode recta es como se ve en la Figura 1.9. Ahora trate de hacer elEjercicio 47(c). Ejemplo 5 Ejemplo 4 2, 0, 2, 0 x1, y1, x2 y y2. 59 2 , 3 3 2 Punto medio x1 x2 2 , y1 y2 2 x2, y2 9, 3.x1, y1 5, 39, 3.5, 3 d12 d22 45 5 50 d32 d3 5 42 7 02 1 49 50 d2 4 22 0 12 4 15 d1 5 22 7 12 9 36 45 5, 72, 1, 4, 0, Frmula del punto medio Elpunto medio del segmento de recta que une los puntos y est dado porla frmula del punto medio Punto medio x1 x2 2 , y1 y2 2 . x2, y2x1, y1 x 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 (5, 7) (4, 0) d1 d3 d2 = 50 =45 = 5 (2, 1) y FIGURA 1.8 x 6 3 3 6 9 3 6 3 6 (9, 3) (2, 0) ( 5,3) Punto medio y FIGURA 1.9 Ayuda de lgebra En el Apndice A.2 hayun repa- so de las tcnicas para evaluar un radical.www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 23. AplicacionesHallar la longitud de un pase El mariscal de campo de un equipo deftbol americano lanza un pase desde la lnea de la yarda 28, a 40yardas de la lnea de banda. El pase es atrapado por un receptor enla lnea de la yarda 5, a 20 yardas de la misma lnea de banda, comose ve en la Figura 1.10. Cul es la longitud del pase? Solucin Sepuede determinar la longitud del pase al hallar la distancia entrelos puntos (40, 28) y (20, 5). Frmula de la distancia Sustituir pory Simplificar. Simplificar. Usar calculadora. Por tanto, el pase esde alrededor de 30 yardas. Ahora trate de hacer el Ejercicio 57. Enel Ejemplo 6, la escala a lo largo de la lnea de gol normalmente noaparece en un campo de ftbol. No obstante, cuando se usa geometrade coordenadas para resolver problemas reales, tenemos libertad deponer el sistema de coordenadas en cualquier forma que sea cmodapara la solucin del problema. Calcular ingresos anuales BarnesNobletuvo ventas anuales de alrededor de $5100 millones de dlares en2005, y $5400 millones de dlares en 2007. Sin saber ms informacinadicional, cules calculara usted que han sido las ventas de 2006?(Fuente: BarnesNoble, Inc.) Solucin Una solucin al problema essuponer que las ventas siguieron una tendencia lineal. Con estasuposicin, se pueden calcular las ventas de 2006 si se encuentra elpunto medio del segmento de recta que enlaza los puntos y Frmuladel punto medio Sustituir por y Simplificar. Entonces, se puedencalcular que las ventas de 2006 han sido de alrededor de $5250millones de dlares, como se muestra en la Figura 1.11. (Las ventasreales de 2006 fue- ron alrededor de $5260 millones de dlares.)Ahora trate de hacer el Ejercicio 59. Ejemplo 7 Ejemplo 6 2006,5.25 y2.x1, x2, y1 2005 2007 2 , 5.1 5.4 2 Punto medio x1 x2 2 , y1y2 2 2007, 5.4.2005, 5.1 30 929 400 529 y2.x1, y1, x2 40 202 28 52d x2 x12 y2 y12 6 Captulo 1 Funciones y sus grficas 5.0 5.1 5.2 5.35.4 5.5 2005 2006 2007 Aos Ventas(enmilesdemillonesdedlares) Ventasde BarnesNoble Punto medio (2007, 5.4) (2005, 5.1) x y (2006, 5.25)FIGURA 1.11 Distancia (en yardas) Distancia(enyardas) Pase de ftbol5 10 15 20 25 30 35 40 5 10 15 20 25 30 35 (40, 28) (20, 5) FIGURA1.10 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 24. Seccin 1.1Coordenadas rectangulares 7 Trasladar puntos en el plano Eltringulo de la Figura 1.12 tiene vrtices en los puntos y Desplaceel tringulo tres unidades a la derecha y dos unidades hacia arribay encuen- tre los vrtices del tringulo desplazado, como se muestraen la Figura 1.13. FIGURA 1.12 FIGURA 1.13 Solucin Para desplazarlos vrtices tres unidades a la derecha, sume 3 a cada una de lascoor- denadas ; para desplazar los vrtices dos unidades haciaarriba, sume 2 a cada una de las coordenadas . Punto original Puntotrasladado Ahora trate de hacer el Ejercicio 61. Las figurasproporcionadas en el Ejemplo 8 en realidad no eran esenciales parala solucin, pero encarecidamente recomendamos al lector desarrolleel hbito de incluir bosquejos con sus soluciones, incluso si no serequieren. x y Ejemplo 8 2 3, 3 2 5, 52, 3 1 3, 4 2 4, 21, 4 1 3, 22 2, 41, 2 x 2 2 3 5 711 6 4 3 2 1 5 2 3 4 y x 2 2 3 5 711 4 6 4 52 3 4 (2, 3) (1, 4) ( 1, 2) y 2, 3.1, 2, 1, 4, Ampliacin delejemplo El Ejemplo 8 muestra cmo trasladar puntos en un plano decoordenadas. Escriba un breve prrafo que describa la forma en quecada uno de los siguientes puntos transformados est relacionado conel punto original. Punto original Punto transformado x, yx, y x,yx, y x, yx, y DISCUSIN EN CLASE www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 25. 8 Captulo 1 Funciones y sus grficasEJERCICIOS En www.CalcChat.com vea las soluciones a los ejerciciosimpares.1.1 En los Ejercicios 5 y 6, aproxime las coordenadas delos puntos. 5. 6. En los Ejercicios 7-10, ubique los puntos en elplano cartesiano. 7. 8. 9. 10. En los Ejercicios 11-14, encuentrelas coordenadas del punto. 11. El punto est situado tres unidades ala izquierda del eje y y cuatro unidades arriba del eje x. 12. Elpunto est situado ocho unidades abajo del eje x y cuatro unidades ala derecha del eje y. 13. El punto est situado cinco unidades abajodel eje x y las coordenadas del punto son iguales. 14. El punto estsobre el eje x y 12 unidades a la izquierda del eje y. En losEjercicios 15-24, determine el cuadrante(s) en el que est situadode modo que la condicin(es) se satisface. 15. y 16. y 17. y 18. y19. 20. 21. y 22. y 23. 24. En los Ejercicios 25 y 26, trace unagrfica de dispersin de los datos mostrados en la tabla. 25. NMERODE TIENDAS La tabla muestra el nmero y de tiendas Wal-Mart paracada ao x de 2000 a 2007. (Fuente: Wal-Mart Stores, Inc.) x, yxy0xy0 y0x0y0x0 x4y5 y 3x2y0x 4 y0x0y0x0 4 3, 3 23, 4,3 4, 3,1, 13, 2, 2.55, 6,0.5, 1,3, 8, 1, 12, 4,3, 1,0, 0, 1, 40, 5,3, 6,4, 2,x A B C D 2246 2 4 2 4 y x A B C D 2 4246 2 4 6 2 4 y Ao, x Nmerode tiendas, y 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 4189 44144688 4906 5289 6141 6779 7262 VOCABULARIO 1. Relacione cada uno delos trminos siguientes con su definicin. (a) eje (i) punto deinterseccin del eje vertical y el eje horizontal (b) eje (ii)distancia dirigida desde el eje x (c) origen (iii) distanciadirigida desde el eje y (d) cuadrantes (iv) cuatro regiones delplano de coordenadas (e) coordenada (v) recta numrica horizontal(f) coordenada (vi) recta numrica vertical En los Ejercicios 2-4,llene los espacios en blanco. 2. Un par ordenado de nmeros realespuede estar representado en un plano llamado sistema de coordenadasrectangulares o plano ________. 3. La ________ ________ ________ esresultado derivado del teorema de Pitgoras. 4. Hallar los valorespromedio de las coordenadas representativas de un segmento de rectaen un plano de coordenadas tambin se conoce como usar la ________________ ________. HABILIDADES Y APLICACIONES y x y xwww.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 26. Seccin 1.1Coordenadas rectangulares 9 26. METEOROLOGA La tabla siguientemuestra la tem- peratura y ms baja registrada (en gradosFahrenheit) en Duluth, Minnesota, para cada mes x, donde represen-ta enero. (Fuente: NOAA) En los Ejercicios 27-38, encuentre ladistancia entre los puntos. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.37. 38. En los Ejercicios 39-42, (a) encuentre la longitud de cadalado del tringulo recto y (b) demuestre que estas longitudes sa-tisfacen el teorema de Pitgoras. 39. 40. 41. 42. En los Ejercicios43-46, demuestre que los puntos forman los vrtices del polgonoindicado. 43. Tringulo rectngulo: 44. Tringulo rectngulo: 45.Tringulo issceles: 46. Tringulo issceles: En los Ejercicios 47-56,(a) site los puntos, (b) encuentre la distancia entre ellos, y (c)encuentre el punto medio del seg- mento de recta que une lospuntos. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. DISTANCIA DEVUELO Un avin vuela de Npoles, Italia, en lnea recta a Roma,Italia, que est a 120 kil- metros al norte y 150 kilmetros al oestede Npoles. Qu distancia vuela el avin? 58. DEPORTES Un jugador deftbol pasa el baln de un punto que est a 18 yardas de la lnea demeta y 12 yardas de la lnea de banda. El pase es recibido por uncompaero de equipo que est a 42 yardas de la misma lnea de meta y50 yardas de la misma lnea de banda, como se indica en la figura.Qu tan largo es el pase? VENTAS En los Ejercicios 59 y 60, use lafrmula del punto medio para calcular las ventas de Big Lots, Inc. yDollar Tree Stores, Inc. en 2005, dadas las ventas en 2003 y 2007.Suponga que las ventas siguieron un patrn lineal. (Fuente: BigLots, Inc.; Dollar Tree Stores, Inc.) 59. Big Lots Distancia (enyardas) Distancia(enyardas) 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 60 (12,18) (50, 42) 16.8, 12.3, 5.6, 4.96.2, 5.4, 3.7, 1.8 1 3, 1 3, 1 6,1 21 2, 1, 5 2, 4 3 2, 10, 10, 21, 2, 5, 4 7, 4, 2, 84, 10, 4, 5 1,12, 6, 01, 1, 9, 7 2, 3, 4, 9, 2, 7 1, 3, 3, 2, 2, 4 1, 3), 3, 5,5, 1 4, 0, 2, 1, 1, 5 x (1, 5) (1, 2) (5, 2) 6 2 2 4 y x (9, 4) (9,1) (1, 1) 6 8 2 4 6 y x 4 8 8 4 (13, 5) (1, 0) (13, 0) y x 1 2 3 45 1 2 3 4 5 (4, 5) (4, 2)(0, 2) y 9.5, 2.6, 3.9, 8.2 4.2, 3.1,12.5, 4.8 2 3, 3, 1, 5 41 2, 4 3, 2, 1 1, 3, 3, 21, 4, 5, 1 8, 5,0, 202, 6, 3, 6 3, 4, 3, 63, 1, 2, 1 1, 4, 8, 46, 3, 6, 5 x 1 Mes,x Temperatura, y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 27 35 32 22 8 34 235 29 39 39 Ao Ventas (en millones) 2003 2007 $4174 $4656www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 27. 60. Dollar TreeEn los Ejercicios 61-64, el polgono est desplazado a una nuevaposicin del plano. Encuentre las coordenadas de los vrtices delpolgono en su nueva posicin. 61. 62. 63. Coordenadas originales delos vrtices: Desplazamiento: ocho unidades hacia arriba, cuatrounidades a la derecha. 64. Coordenadas originales de los vrtices:Desplazamiento: 6 unidades hacia abajo, 10 unidades a la izquierda.PRECIO AL POR MENOR En los Ejercicios 65 y 66, use la grfica, quemuestra el promedio de precios al por menor de 1 galn de lecheentera de 1996 a 2007. (Fuente: U.S. Bureau of Labor Statistics)65. Aproxime el precio ms alto de un galn de leche entera que semuestra en la grfica. Cundo ocurri? 66. Aproxime el porcentaje decambio en el precio de leche a partir del precio en 1996 al precioms alto mostrado en la grfica. 67. PUBLICIDAD La grfica muestra elcosto promedio de un anuncio de 30 segundos en televisin (en milesde dlares) durante el Sper Tazn de 2000 a 2008. (Fuente: NielsonMedia and TNS Media Intelligence) FIGURA PARA 67 (a) Calcule elporcentaje de aumento en el costo prome- dio de un anuncio de 30segundos del Sper Tazn XXXIV en 2000 al Sper Tazn XXXVIII en 2004.(b) Calcule el porcentaje de aumento en el costo prome- dio de unanuncio de 30 segundos del Sper Tazn XXXIV en 2000 al Sper TaznXLII en 2008. 68. PUBLICIDAD La grfica muestra los costos prome-dio de un anuncio de 30 segundos en televisin (en miles de dlares)durante los Premios de la Academia, de 1995 a 2007. (Fuente:Nielson Monitor-Plus) (a) Calcule el porcentaje de aumento en elcosto prome- dio de un anuncio en 1996 al costo en 2002. (b)Calcule el porcentaje de aumento en el costo prome- dio de unanuncio en 1996 al costo en 2007. 69. MSICA La grfica muestra losnmeros de artistas que fueron elegidos para el Saln de la Fama delRock and Roll de 1991 a 2008. Describa cualesquiera ten- dencias delos datos. A partir de estas tendencias, predi- ga el nmero deartistas elegidos en 2010. (Fuente: rockhall.com) Ao Nmeroelegido1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2 4 6 8 10 1995 19971999 2001 2003 2005 2007 Ao Costodeanuncio de30segundosenTV(enmilesdedlares) 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2002 20032004 2005 2006 2007 20082001 Ao Costodeanuncio de30segundosenTV(enmilesdedlares) 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 19961998 2000 2002 2004 2006 Ao Preciopromedio (endlaresporgaln) 2.602.80 3.00 3.20 3.40 3.60 3.80 4.00 5, 27, 6, 3, 6,5, 8, 7, 42, 4,2,2, 7, 2, x ( 3, 0) ( 5, 3) ( 3, 6) ( 1, 3) 3unidades 6 unidades 315 7 y x ( 1, 1) ( 2, 4) (2, 3) 2 unidades 5unidades 4 224 y 10Captulo 1 Funciones y sus grficas Ao Ventas (en millones) 2003 2007$2800 $4243 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 28.Seccin 1.1 Coordenadas rectangulares 11 70. FUERZA LABORAL Use lagrfica siguiente, que muestra el salario mnimo en Estados Unidos(en dlares) de 1950 a 2009. (Fuente: U.S. Department of Labor) (a)Cul dcada muestra el mximo aumento en salario mnimo? (b) Calcule elporcentaje de aumentos en el salario mnimo de 1990 a 1995 y de 1995a 2009. (c) Use el porcentaje de aumento de 1995 a 2009 parapredecir el salario mnimo en 2013. (d) Piensa usted que suprediccin en el inciso (c) es razonable? Explique. 71. VENTAS LaCoca-Cola Company tuvo ventas de $19805 millones en 1999 y $28857millones en 2007. Utilice la frmula del punto medio para calcularlas ventas en 2003. Suponga que las ventas siguieron un patrnlineal. (Fuente: The Coca-Cola Company) 72. ANLISIS DE DATOS:CALIFICACIONES DE EX- MENES La tabla siguiente muestra lascalificaciones x para examen de entrada, y las calificaciones y deexa- men final en un curso de lgebra, para una muestra de 10estudiantes. (a) Trace una grfica de dispersin de los datos. (b)Encuentre la calificacin del examen de entrada de cualquierestudiante con calificacin de examen final en los 80. (c) Unacalificacin ms alta en el examen de entrada implica una calificacinms alta en el examen final? Explique. 73. ANLISIS DE DATOS: CORREOLa tabla siguiente muestra el nmero y de piezas de correo manejadas(en miles de millones) por el U.S. Postal Service por cada ao x de1996 a 2008. (Fuente: U.S. Postal Service) TABLA PARA 73 (a) Traceuna grfica de dispersin de los datos. (b) Calcule el ao en el quehubo el mximo aumento en el nmero de piezas de correo manejadas.(c) Por qu piensa usted que el nmero de piezas de correo manejadasdisminuy? 74. ANLISIS DE DATOS: DEPORTES La tabla siguien- temuestra los nmeros de equipos de baloncesto cole- gial, parahombres M y para mujeres W, por cada ao x de 1994 a 2007. (Fuente:National Collegiate Athletic Association) (a) Trace grficas dedispersin de estos dos conjuntos de datos en el mismo conjunto deejes de coorde- nadas. Ao Salariomnimo(endlares) 1950 1960 19701980 1990 2000 2010 1 2 3 4 5 6 7 8 Ao, x Piezas de correo, y 19961997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 183 191197 202 208 207 203 202 206 212 213 212 203 x 22 29 35 40 44 48 5358 65 76 y 53 74 57 66 79 90 76 93 83 99 Ao, x Equipos de hombres,M Equipos de mujeres, W 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 20012002 2003 2004 2005 2006 2007 858 868 866 865 895 926 932 937 936967 981 983 984 982 859 864 874 879 911 940 956 958 975 1009 10081036 1018 1003 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 29.(b) Encuentre el ao en que el nmero de equipos de hombres y mujeresfueron casi iguales. (c) Encuentre el ao en que la diferencia entreel n- mero de equipos de hombres y mujeres fue mximo. Cul fue ladiferencia? EXPLORACIN 75. Un segmento de recta tiene como un puntoextremo y como su punto medio. Encuentre el otro punto extremo delsegmento de recta en tr- minos de y 76. Use el resultado delEjercicio 75 para hallar las coorde- nadas del punto extremo de unsegmento de recta si las coordenadas del otro punto extremo y delpunto medio son, respectivamente, (a) y (b) 77. Use la frmula delpunto medio tres veces para hallar los tres puntos que dividen, encuatro partes, el seg- mento de recta que enlaza y . 78. Use elresultado del Ejercicio 77 para hallar los puntos que dividen, encuatro partes iguales, el segmento que une los puntos dados. (a)(b) 79. HACER UNA CONJETURA Localice los puntos y en un sistema decoordenadas rec- tangulares. A continuacin cambie el signo de lacoor- denada x de cada punto y localice los tres nuevos pun- tos enel mismo sistema de coordenadas rectangulares. Haga una conjeturaacerca de la ubicacin de un punto cuando ocurra lo siguiente. (a)El signo de la coordenada x se cambia. (b) El signo de lacoordenada y se cambia. (c) Los signos de las coordenadas x y y secambian. 80. PUNTOS COLINEALES Tres o ms puntos son coli- neales siestn todos en la misma recta. Use los pasos siguientes paradeterminar si los conjuntos de puntos y son colineales. (a) Porcada conjunto de puntos, use la frmula de la distancia para hallarlas distancias de A a B, de B a C y de A a C. Qu relacin existeentre estas dis- tancias para cada conjunto de puntos? (b) Sitecada conjunto de puntos en el plano cartesia- no. Todos los puntosde cualquier conjunto pare- cen estar sobre la misma recta? (c)Compare sus conclusiones del inciso (a) con las conclusiones a lasque lleg por las grficas del inciso (b). Haga un enunciado generalacerca de cmo usar la frmula de la distancia para determi- narcolinealidad. VERDADERO O FALSO En los Ejercicios 81 y 82, deter-mine si el enunciado es verdadero o falso. Justifique su res-puesta. 81. Para dividir un segmento en 16 partes iguales sera ne-cesario usar 16 veces la frmula del punto medio 82. Los puntos yrepresentan los vrtices de un tringulo issceles. 83. PINSELO Cuandose localizan puntos en el sistema de coordenadas rectangulares, escierto que las escalas en los ejes x y y deben ser iguales?Explique. 85. DEMOSTRACIN Demuestre que las diagonales delparalelogramo de la figura se intersecan en sus puntos medios.ym.x1, y1, xm x2, y2 xm, ym x1, y1 3, 5, x (0, 0) ( , )b c ( + , )ab c ( , 0)a y 5, 12, 118, 4, C2, 1B5, 2,A8, 3,C6, 3B2, 6,A2, 3, 7,3 2, 1, 2, 3, 0, 01, 2, 4, 1 x2, y2x1, y1 5, 11, 2, 4.1, 2, 4, 1 12Captulo 1 Funciones y sus grficas 84. TOQUE FINAL Utilice la grficadel punto de la figura. Relacione la transformacin del punto con lagrfica correcta. Explique su razonamiento. [Las grficas estnmarcadas (i), (ii), (iii) y (iv).] (i) (ii) (iii) (iv) (a) (b) (c)(d) x0, y0 x0, y0x0, 1 2 y0 2x0, y0x0, y0 x y x y x y x y (x , y )00 x y www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 30. Grfica deuna ecuacin En la Seccin 1.1 utilizamos un sistema de coordenadaspara representar grficamente la relacin entre dos cantidades. Ah,la imagen grfica estaba formada por un conjun- to de puntos en unplano de coordenadas. Con frecuencia, una relacin entre doscantidades se expresa como una ecuacin con dos variables. Porejemplo, es una ecuacin en x y y. Un par ordena- do es una solucino punto de solucin de una ecuacin con x y y si la ecuacin esverdadera cuando a se sustituye por x y b se sustituye por y. Porejemplo, es una solucin de porque es una proposicin verdadera. Enesta seccin repasaremos algunos procedimientos bsicos para trazarla grfica de una ecuacin con dos variables. La grfica de unaecuacin es el conjunto de todos los puntos que son soluciones de laecuacin. Determinar puntos de solucin Determine si (a) y (b) estnen la grfica de Solucin a. Escribir la ecuacin original. Sustituir2 por x y 13 por y. es una solucin.El punto est en la grfica deporque es un punto de solucin de la ecuacin. b. Escribir la ecuacinoriginal. Sustituir por x y por y. no es una solucin. El punto noest en la grfica de porque no es un punto de solucin de la ecuacin.Ahora trate de hacer el Ejercicio 7. La tcnica bsica empleada paratrazar la grfica de una ecuacin es el mtodo de determinacin depuntos. y 10x 71, 3 y 10x 72, 13 y 10x 7.1, 32, 13 a, b 4 7 31y 73x 1, 4 y 7 3x Ejemplo 1 1, 33 17 313 ? 101 7 y 10x 7 2, 1313 13 13? 102 7 y 10x 7 1.2 GRFICAS DE ECUACIONES Lo que debe aprenderTrazar grficas de ecuaciones. Hallar intersecciones x y y degrficas de ecuaciones. Usar simetra para trazar grficas deecuaciones. Hallar ecuaciones y trazar grficas de circunferencias.Usar grficas de ecuaciones para resolver problemas reales. Por qudebe aprenderlo La grfica de una ecuacin puede ayudar a verrelaciones entre cantidades reales. Por ejemplo, en el Ejercicio 87de la pgina 23 se puede usar una grfica para calcular lasexpectativas de vida de nios que nazcan en 2015. Trazar la grficade una ecuacin al determinar puntos 1. Si posible, vuelva aescribir la ecuacin para que una de las variables quede aislada enuno de sus lados (miembros). 2. Haga una tabla de valores quemuestre varios puntos de solucin. 3. Site esos puntos en un sistemade coordenadas rectangulares. 4. Enlace los puntos con una curva orecta lisas. Seccin 1.2 Grficas de ecuaciones 13 Ayuda de lgebra Alevaluar una expresin o ecuacin, recuerde seguir las reglas bsicasdel lgebra. Para repasar estas reglas, vea el Apndice A.1.www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 31. Trazar la grficade una ecuacin Trace la grfica de Solucin Como la ecuacin ya estdespejada (resuelta para y), construya una tabla de valores formadapor varios puntos de solucin de la ecuacin. Por ejemplo, cuando loque implica que es un punto de solucin de la grfica. De la tabla,se deduce que y son puntos de solucin de la ecuacin. Despus degraficar estos puntos, se puede ver que aparecen en una recta, comose muestra en la Figura 1.14. La grfica de la ecuacin es la rectaque pasa por los seis puntos determinados. FIGURA 1.14 Ahora tratede hacer el Ejercicio 15. 1, 10 Ejemplo 2 x (1, 10) (1, 4) (0, 7)(2, 1) (3, 2) (4, 5) y 24 2 4 6 8 10 2 4 6 2 4 6 8 4, 53, 22, 1,1,4,0, 7,1, 10, 10 y 7 31 x 1, y 7 3x. x y 7 3x x, y 1 10 1, 10 0 70, 7 1 4 1, 4 2 1 2, 1 3 2 3, 2 4 5 4, 5 14 Captulo 1 Funciones ysus grficas www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 32.Trazar la grfica de una ecuacin Trace la grfica de Solucin Como laecuacin ya est despejada, empecemos por construir una tabla devalores. A continuacin, grafique los puntos dados en la tabla, comose ve en la Figura 1.15. Por ltimo, enlace los puntos con una curvalisa, como se muestra en la Figura 1.16. FIGURA 1.15 FIGURA 1.16Ahora trate de hacer el Ejercicio 17. El mtodo de determinacin depuntos demostrado en los Ejemplos 2 y 3 es fcil de usar, pero tienealgunos defectos. Con muy pocos puntos de solucin se puede mal-interpretar la grfica de una ecuacin. Por ejemplo, si slo cuatropuntos y se determinan en la Figura 1.15, cualquiera de las tresgrficas de la Figura 1.17 sera razonable. FIGURA 1.17 Ejemplo 3 x 22 2 4 y x 2 2 2 4 y x 2 2 2 4 y 2, 21, 11, 1,2, 2, x 2 424 2 4 6(1, 1) (0, 2) (1, 1) (2, 2)(2, 2) (3, 7) y = x2 2 y x 2 424 2 4 6(1, 1) (0, 2) (1, 1) (2, 2)(2, 2) (3, 7) y y x2 2. x 2 1 0 1 2 3 yx2 2 2 1 2 1 2 7 x, y 2, 2 1, 1 0, 2 1, 1 2, 2 3, 7 Uno de losobjetivos de este curso es aprender a clasificar la forma bsica deuna grfica a partir de su ecuacin. Por ejemplo, usted aprender quela ecuacin lineal del Ejemplo 2 tiene la forma y su grfica es unarecta. Del mismo modo, la ecuacin cuadrtica del Ejemplo 3 tiene laforma y su grfica es una parbola. y ax2 bx c y mx b Seccin 1.2Grficas de ecuaciones 15 www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 33. Intersecciones de una grfica con losejes x y y Con frecuencia es fcil determinar los puntos de solucinque tengan 0 (cero) ya sea como coordenada x o como y. Estos puntosse denominan intersecciones con los ejes porque son los puntos enlos que la grfica corta o toca el eje x o el y. Es posible que unagrfica no tenga intersecciones, o que tenga una o varias, como seve en la Figura 1.18. Ntese que una interseccin con x puedeescribirse como el par ordenado y una con el eje y como el parordenado (0, y). Algunos textos denotan la interseccin con x comola coordenada x del punto [y la interseccin con y como lacoordenada y del punto ] ms que el punto mismo. A menos que seanecesario hacer una distin- cin, usaremos el trmino interseccinpara dar a entender que es el punto o la coorde- nada. Hallarintersecciones con los ejes x y y Encuentre las intersecciones conlos ejes x y y de la grfica de Solucin Sea Entonces tienesoluciones y intersecciones con el eje x: Sea Entonces tiene unasolucin, intersecciones con el eje y: Vea Figura 1.19. Ahora tratede hacer el Ejercicio 23. 0, b a, 0 x, 0 Ejemplo 4 0, 0 y 0. y 0340 x 0. 0, 0, 2, 0, 2, 0 x 2.x 0 0 x3 4x xx2 4 y 0. y x3 4x. y = x4x3 x 44 4 2 4 (2, 0) (0, 0) (2, 0) y FIGURA 1.19 x y Sininterseccin con el eje x; una con y x y Tres intersecciones con eleje x; una con el y x y Una interseccin con el eje x; dos con el yx y Sin intersecciones con los ejes FIGURA 1.18 TECNOLOGA Paragraficar una ecuacin con x y y en una calculadora de grficas, useel siguiente procedimiento. 1. Vuelva a escribir la ecuacin paraaislar y en el lado izquierdo. 2. Ingrese la ecuacin en lacalculadora de grficas. 3. Determine la pantalla que muestre todaslas caractersticas importantes de la grfica. 4. Grafique laecuacin. Hallar intersecciones con los ejes x y y 1. Para hallarintersecciones con el eje x, sea y despejemos x de la ecuacin. 2.Para hallar intersecciones con el eje y, sea y despejemos y de laecuacin.x 0 y 0 16 Captulo 1 Funciones y sus grficaswww.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 34. Simetra Lasgrficas de ecuaciones pueden tener simetra respecto a uno de losejes de coorde- nadas o respecto al origen. La simetra respecto aleje x significa que si el plano carte- siano se doblara a lo largodel eje x, la parte de la grfica arriba de ese eje coincidira conla parte de abajo. La simetra respecto al eje y o al origen sepuede describir de un modo semejante, como se ilustra en la Figura1.20. Simetra respecto al eje x Simetra respecto al eje y Simetrarespecto al origen FIGURA 1.20 Es til conocer la simetra de unagrfica antes de tratar de trazarla, porque entonces se necesita slola mitad de los puntos de solucin para hacerlo. Hay tres tiposbsicos de simetra, que se describen a continuacin. Se puedeconcluir que la grfica de es simtrica respecto al eje y por- que elpunto tambin est en la grfica. (Vea la tabla siguiente y la Figura1.21.)x, y y x2 2 (x, y) (x, y) x y (x, y)(x, y) x y (x, y) (x, y)x y Pruebas grficas de simetra 1. Una grfica es simtrica respectoal eje x si, siempre que est en la grfica, tambin lo est. 2. Unagrfica es simtrica respecto al eje y si, siempre que est en lagrfica, tambin lo est. 3. Una grfica es simtrica respecto al origensi, siempre que est en la grfica, tambin lo est. x, y x, y x, y x,y x, y x, y Pruebas algebraicas de simetra 1. La grfica de unaecuacin es simtrica respecto al eje x si sustituyendo y con resultauna ecuacin equivalente. 2. La grfica de una ecuacin es simtricarespecto al eje y si sustituyendo x con resulta una ecuacinequivalente. 3. La grfica de una ecuacin es simtrica respecto alorigen si sustituyendo x con y y con resulta una ecuacinequivalente.yx x y x 3 2 1 1 2 3 y 7 2 1 1 2 7 x, y 3, 7 2, 2 1, 11, 1 2, 2 3, 7 x y = x 22 y (3, 7) (3, 7) (2, 2) (2, 2) (1, 1) (1,1) 4 3 2 2 3 1 3 4 5 3 4 5 6 7 2 FIGURA 1.21 Simetra respecto aleje y Seccin 1.2 Grficas de ecuaciones 17 www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 35. Prueba de simetra Pruebe si tienesimetra respecto a ambos ejes y al origen. Solucin eje : Escribirla ecuacin original. Sustituir con El resultado no es una ecuacinequivalente. eje : Escribir la ecuacin original. Sustituir conSimplificar. El resultado no es una ecuacin equivalente. Origen:Escribir la ecuacin original. Sustituir con y con Simplificar.Ecuacin equivalente De las tres pruebas de simetra, la nica que sesatisface es la de simetra respecto al origen (vea Figura 1.22).Ahora trate de hacer el Ejercicio 33. La simetra como apoyo de lagraficacin Use simetra para trazar la grfica de Solucin De las trespruebas de simetra, la nica que se satisface es la de simetrarespecto al eje x porque es equivalente a . Por tanto, la grfica essimtrica respecto al eje x. Usando simetra, slo se necesita hallarlos puntos de solucin arriba del eje x y a continuacin reflejarlospara obtener la grfica, como se muestra en la Figura 1.23. Ahoratrate de hacer el Ejercicio 49. Trazar la grfica de una ecuacinTrace la grfica de Solucin Esta ecuacin no satisface las trespruebas de simetra y, en consecuencia, su grfica no es simtricarespecto a cualquiera de los ejes o al origen. El signo de valorabsoluto indica que y es siempre no negativa. Genere una tabla devalores y grafique los puntos, como se muestra en la Figura 1.24.De la tabla, se puede ver que cuando Por tanto, la interseccin conel eje y es Del mismo modo, cuando En consecuencia, la interseccincon el eje x es Ahora trate de hacer el Ejercicio 53. yy x.x x.xy.y Ejemplo 7 Ejemplo 6 Ejemplo 5 1, 0. x 1.y 00, 1. y 1.x 0 y x 1.x y2 1x y2 1 x y2 1. y 2x3 y 2x3 y 2x3 y 2x3 y 2x3 y 2x3 y 2x3 y y2x3 y 2x3 x y 2x3 x (1, 0) (2, 1) (5, 2) x y = 12 2 3 4 5 2 1 2 1 yFIGURA 1.23 x y 2 2 1 112 1 2 y = 2x3 (1, 2) (1, 2) FIGURA 1.22 x y= x 1 2 3 5423 1 2 2 3 5 4 6 y (2, 3) (1, 2) (3, 2) (4, 3) (0, 1)(2, 1) (1, 0) FIGURA 1.24 x 2 1 0 1 2 3 4 y x 1 3 2 1 0 1 2 3 x, y2, 3 1, 2 0, 1 1, 0 2, 1 3, 2 4, 3 Ayuda de lgebra En el Ejemplo 7,es una expresin de valor absoluto. En el Apndice 1 se puedenrepasar las tcnicas para evaluar una expresin de valor absoluto. x1 18 Captulo 1 Funciones y sus grficas www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 36. En todo este curso usted aprender areconocer varios tipos de grficas a partir de sus ecuaciones. Porejemplo, aprender a reconocer que la grfica de una ecuacin desegundo grado de la forma es una parbola (vea el Ejemplo 3). Lagrfica de una circunferencia tambin es fcil de reconocer.Circunferencias Considere la circunferencia que se ilustra en laFigura 1.25. Un punto est en la circunferencia si y slo si sudistancia desde el centro ) es r. Por la frmula de la distancia, Alelevar al cuadrado cada lado de esta ecuacin se obtiene la formaestndar de la ecuacin de una circunferencia. De este resultado, sepuede ver que la forma estndar de la ecuacin de una cir-cunferencia con centro en el origen, es simplemente Circunferenciacon centro en el origen Hallar la ecuacin de una circunferencia Elpunto est en una circunferencia cuyo centro est en como se ilustraen la Figura 1.26. Escriba la forma estndar de la ecuacin de estacircunferencia. Solucin El radio de la circunferencia es ladistancia entre y Frmula de la distancia Sustituir x, y, h y k.Simplificar. Simplificar. Radio Usando y la ecuacin de lacircunferencia es Ecuacin de la circunferencia Sustituir h, k y r.Forma estndar Ahora trate de hacer el Ejercicio 73. Ejemplo 8 x 12y 22 20. x 12 y 22 202 x h2 y k2 r2 r 20,h, k 1, 2 20 16 4 42 22 312 4 22 r x h2 y k2 3, 4.1, 2 1, 2,3, 4 x2 y2 r2 . h, k 0, 0, x h2y k2 r. h, k x, y y ax2 bx c Forma estndar de la ecuacin de unacircunferencia El punto est en la circunferencia de radio r ycentro si y slo si x h2 y k2 r2 . (h, k)x, y x Centro: (h, k) Puntoen la circunferencia: (x, y) y Radio: r FIGURA 1.25 x 2 426 2 4 4 6(3, 4) (1, 2) y FIGURA 1.26 A T E N C I N Sea cuidadoso cuandobusque h y k de la ecuacin estndar de una circunferencia. Porejemplo, para hallar las h y k correctas de la ecuacin de lacircunferencia del Ejemplo 8, vuelva a escribir las cantidades yusando sustraccin. Por tanto, y k 2.h 1 y 22 y 22 x 12 x 12 , y 22x 12 Seccin 1.2 Grficas de ecuaciones 19 www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 37. Aplicacin En este curso, aprender quehay numerosas formas de abordar un problema. En el Ejemplo 9 seilustran tres mtodos comunes. Un mtodo numrico: construya y use unatabla. Un mtodo grfico: trace y use una grfica. Un mtodoalgebraico: use las reglas de lgebra. Peso recomendado El pesomediano recomendado y (en libras) para hombres de constitucinmediana, de entre 25 y 59 aos de edad, se puede calcular con elmodelo matemtico donde x es la estatura del hombre (en pulgadas).(Fuente: Metropolitan Life Insurance Company) a. Construya unatabla de valores que muestre los pesos medianos recomendados parahombres con estaturas de 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74 y 76 pulgadas.b. Use la tabla de valores para trazar una grfica del modelo. Acontinuacin use la gr- fica para calcular grficamente el pesomediano recomendado para un hombre cuya estatura es 71 pulgadas. c.Use el modelo para confirmar algebraicamente el clculo que ustedencontr en el inciso (b). Solucin a. Puede usar una calculadorapara completar la tabla como se muestra a la izquierda. b. La tablade valores puede usarse para trazar la grfica de la ecuacin, comose mues- tra en la Figura 1.27. Con base en la grfica puedeestimarse que una estatura de 71 pulgadas corresponde a un peso de161 libras, aproximadamente. FIGURA 1.27 c. Para confirmaralgebraicamente el clculo hallado en el inciso (b), se puedesustituir 71 por x en el modelo. Entonces, el clculo grfico de 161libras es muy bueno. Ahora trate de hacer el Ejercicio 87. Ejemplo9 160.70y 0.073(71)2 6.99(71) 289.0 Peso(enlibras) Estatura (enpulgadas) x y 62 64 66 68 70 72 74 76 130 140 150 160 170 180 Pesorecomendado 62 x 76y 0.073x2 6.99x 289.0, Estatura, x Peso, y 62 6466 68 70 72 74 76 136.2 140.6 145.6 151.2 157.4 164.2 171.5 179.420 Captulo 1 Funciones y sus grficas Usted debe desarrollar elhbito de usar al menos dos mtodos para resolver cualquier problema.Esto ayuda a su intuicin y a comprobar que sus respuestas sonrazonables. www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 38.EJERCICIOS En www.CalcChat.com vea las soluciones a los ejerciciosimpares.1.2 VOCABULARIO: Llene los espacios en blanco. 1. Un parordenado es un ________ ________ ________ de una ecuacin con x y ysi la ecuacin es verdadera cuando a se sustituya por x y b sesustituya por y. 2. El conjunto de todos los puntos de solucin deuna ecuacin es la ________ de la ecuacin. 3. Los puntos en los queuna grfica interseca o corta un eje se denominan las ________________ ________ ________ de la grfica. 4. Una grfica es simtricarespecto al ________ si, siempre que est en la grfica, tambin loest. 5. La ecuacin es la forma estndar de la ecuacin de una________ con centro ________ y radio ________. 6. Cuando seconstruya y use una tabla para resolver un problema se usa un mtodo________. HABILIDADES Y APLICACIONES a, b x h2 y k2 r2 x, yx, y Enlos Ejercicios 7-14, determine si cada punto se encuentra en lagrfica de la ecuacin. Ecuacin Puntos 7. (a) (b) 8. (a) (b) 9. (a)(b) 10. (a) (b) 11. (a) (b) 12. (a) (b) 13. (a) (b) 14. (a) (b) Enlos Ejercicios 15-18, complete la tabla. Use los puntos de solucinresultantes para trazar la grfica de la ecuacin. 15. 16. 17. 18. Enlos Ejercicios 19-22, grficamente calcule las intersecciones conlos ejes x y y de la grfica. Verifique algebraicamente susresultados. 19. 20. 21. 22. En los Ejercicios 23-32, encuentre lasintersecciones con los ejes x y y de la grfica de la ecuacin. 23.24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. y2 x 1y2 6 x y x4 25y 2x3 4x2 yx 10y 3x 7 y 2x 1y x 4 y 8 3xy 5x 6 x y 5421 1 3 1 3 x y 1 2 3 4 54 3 2 1 y2 4 xy x 2 y x 4 1 1 3 8 20 x y 2 4 6 8 10 8 6 4 2 24 y 164x2 y x 32 y 5 x2 y x2 3x y 3 4x 1 y 2x 5 3, 92, 16 3 y 1 3x3 2x24, 23, 2x2 y2 20 1, 11, 22x y 3 0 1, 02, 3y x 1 2 6, 01, 5y 4 x 22, 82, 0y x2 3x 2 5, 01, 2y 5 x 5, 30, 2y x 4 x 1 0 1 2 5 2 y x, yx 2 0 1 4 3 2 y x, y x 1 0 1 2 3 y x, y x 2 1 0 1 2 y x, y Seccin1.2 Grficas de ecuaciones 21 www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 39. En los Ejercicios 33-40, use las pruebasalgebraicas para veri- ficar simetra respecto a ambos ejes y elorigen. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. En los Ejercicios 41-44,suponga que la grfica tiene el tipo de simetra indicado. Tracecompleta la grfica de la ecuacin. Para imprimir una copiaamplificada de la grfica, visite el sitio web www.mathgraphs.com.41. 42. simetra con el eje y simetra con el eje x 43. 44. simetracon el origen simetra con el eje y En los Ejercicios 45-56,identifique cualesquiera interseccio- nes con los ejes y pruebesimetra. A continuacin, trace la grfica de la ecuacin. 45. 46. 47.48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. En los Ejercicios 57-68, useuna calculadora de grficas para graficar la ecuacin. Use un ajusteestndar. Aproxime cuales- quiera intersecciones con los ejes. 57.58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. En los Ejercicios69-76, escriba la forma estndar de la ecua- cin de la crcunferenciacon las caractersticas dadas. 69. Centro: radio: 4 70. Centro:radio: 5 71. Centro: radio: 4 72. Centro: radio: 7 73. Centro:punto solucin: 74. Centro: punto solucin: 75. Puntos extremos de undimetro: 76. Puntos extremos de un dimetro: En los Ejercicios77-82, encuentre el centro y radio de la cir- cunferencia y tracesu grfica. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. DEPRECIACIN Un hospitalcompra una nueva m- quina para imgenes de resonancia magntica en$500 000 dlares. El valor depreciado y (valor reducido) despus de taos est dado por Trace la grfica de la ecuacin. 84. CONSUMISMO Unapersona compra un vehculo para todo terreno (ATV) en $8000. Elvalor depreciado y despus de t aos est dado por Trace la grfica dela ecuacin. 85. GEOMETRA Un campo de juego reglamentario de la NFL(incluidas las zonas de extremo) de longitudx y ancho y tiene unpermetro de , o sea, yardas. (a) Trace un rectngulo que d unarepresentacin vi- sual del problema. Use las variablesespecificadas para marcar los lados del rectngulo. (b) Demuestreque el ancho del rectngulo es y su rea es (c) Use una calculadorade grficas para graficar la ecuacin del rea. Asegrese de ajustar laimagen en la pantalla de la calculadora. (d) De la grfica delinciso (c), calcule las dimensiones del rectngulo que produzca unrea mxima. (e) Use la biblioteca de su escuela, el internet oalguna otra fuente de consulta para hallar las dimensiones y reareales de un campo de juego de la NFL, y com- pare sus hallazgoscon los resultados del inciso (d). 1040 3346 2 3 0 t 6. A x520 3x.y 520 3 x y 8000 900t, 0 t 8. y 500 000 40 000t, x 22 y 32 16 9 x1 22 y 1 22 9 4 x2 y 12 1x 12 y 32 9 x2 y2 16x2 y2 25 4, 1, 4, 1 0,0, 6, 8 1, 13, 2; 0, 01, 2; 7, 4; 2, 1; 0, 0; 0, 0; y 2 xy x 3 y 6xxy xx 6 y 3x 1y 3x 2 y 4 x2 1 y 2x x 1 y x2 x 2y x2 4x 3 y 2 3x 1y3 1 2x x y2 5x y2 1 y 1 xy x 6 y 1 xy x 3 y x3 1y x3 3 y x2 2xy x22x y 2x 3y 3x 1 x 4 2 2 4 2 2 4 4 y x 4 2 2 4 2 2 4 4 y x 2 4 6 8 24 2 4 y x 4 2 4 2 4 y xy 4xy2 10 0 y 1 x2 1 y x x2 1 y x4 x2 3y x3x y2 0x2 y 0 El smbolo indica un ejercicio o parte de uno en el quese le pide que use una calculadora de grficas. 22 Captulo 1Funciones y sus grficas www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 40. 86. GEOMETRA Un campo de ftbol soccer delongitud x y ancho y tiene un permetro de 360 metros. (a) Trace unrectngulo que d una representacin vi- sual del problema. Use lasvariables especificadas para marcar los lados del rectngulo. (b)Demuestre que el ancho del rectngulo es y su rea es (c) Use unacalculadora de grficas para graficar la ecuacin del rea. Asegresede ajustar la imagen en la pantalla de la calculadora. (d) De lagrfica del inciso (c), calcule las dimensiones del rectngulo quedar un rea mxima. (e) Use la biblioteca de su escuela, el interneto alguna otra fuente de consulta para hallar las dimensiones y reareales de un campo de juego de la Major League Soccer, y comparesus hallazgos con los re- sultados del inciso (d). 87. ESTADSTICASDE POBLACIN La tabla siguiente muestra las expectativas de vida deun nio (al nacer) en Estados Unidos, para los aos seleccionados de1920 a 2000. (Fuente: U.S. National Center for Health Statistics)Un modelo para la expectativa de vida durante este pe- riodo esdonde y representa la expectativa de vida y t es el tiem- po enaos, con correspondiente a 1920. (a) Use una calculadora de grficaspara graficar los datos de la tabla y el modelo en la mismapantalla. Qu tan bien se ajusta el modelo a los datos? Explique.(b) Determine la expectativa de vida en 1990 tanto gr- fica comoalgebraicamente. (c) Use la grfica para determinar el ao cuando laex- pectativa de vida era alrededor de 76.0. Verifique al-gebraicamente su respuesta. (d) Una proyeccin para la expectativade vida de un nio nacido en 2015 es 78.9. Cmo se compara esto conla proyeccin dada en el modelo? (e) Piensa usted que este modelo sepuede usar para predecir la expectativa de vida de un nio dentro de50 aos? Explique. 88. ELECTRNICA La resistencia y (en ohms) de 1000pies de alambre slido de cobre a 68 grados Fahrenheit puedecalcularse con el siguiente modelo donde x es el dimetro delalambre en mils (0.001 de pulgada). (Fuente: American Wire Gage)(a) Complete la tabla. (b) Use la tabla de valores del inciso (a)para trazar una grfica del modelo. A continuacin use su grfica paracalcular la resistencia cuando (c) Use el modelo para confirmaralgebraicamente el clculo que encontr en el inciso (b). (d) Qu sepuede concluir en general acerca de la relacin entre el dimetro delalambre de cobre y la resistencia? EXPLORACIN 89. PINSELO Encuentrea y b si la grfica de es simtrica respecto a (a) el eje y y (b) alorigen. (Hay muchas respuestas correctas.) t 20 A x180 x.y 180 x yax2 bx3 20 t 100y 0.0025t2 0.574t 44.25, x 85.5. 5 x 100y 10770 x20.37, Ao Expectativa de vida, y 1920 1930 1940 1950 1960 1970 19801990 2000 54.1 59.7 62.9 68.2 69.7 70.8 73.7 75.4 77.0 x 5 10 20 3040 50 y x 60 70 80 90 100 y 90. TOQUE FINAL Relacione la ecuacin oecuaciones con las caractersticas dadas. (i) (ii) (iii) (iv) (v)(vi) (a) Simtrica respecto al eje y (b) Tres intersecciones con eleje x (c) Simtrica respecto al eje x (d) es un punto sobre lagrfica (e) Simtrica respecto al origen (f) La grfica pasa por elorigen 2, 1 y x 3y 3x2 3 y 3xy 3x 3 y x 32 y 3x3 3x Seccin 1.2Grficas de ecuaciones 23 www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 41. Uso de la pendiente El modelo matemticoms sencillo para relacionar dos variables es la ecuacin lineal condos variables La ecuacin se llama lineal porque su grfica es unarecta. (En matemticas, el trmino lnea quiere decir una lnea recta.)Si hacemos obtenemos Sustituir 0 por x. Entonces, la recta corta eleje y en como se muestra en la Figura 1.28. En otras palabras, lainterseccin con el eje y es La pendiente de la recta es m.Pendiente Interseccin con el eje y La pendiente de una recta novertical es el nmero de unidades que la recta sube (o baja)verticalmente por cada unidad de cambio horizontal de izquierda aderecha, como se ve en las Figuras 1.28 y 1.29. Pendiente positiva,la recta sube Pendiente negativa, la recta baja FIGURA 1.28 FIGURA1.29 Se dice que una ecuacin lineal en la forma est escrita enforma pen- diente-interseccin con el eje y. 0, b. y b, b. y m0 b ymx b interseccin con el eje y x (0, b) m unidades m0 1 unidad y =mx + b y interseccin con el eje y x (0, b) m unidades m0 1 unidad y= mx + b y y mx b x 0, y mx b. 1.3 ECUACIONES LINEALES CON DOSVARIABLES Lo que debe aprender Usar la pendiente para graficarecuaciones lineales con dos variables. Encontrar la pendiente deuna recta dados dos puntos sobre sta. Escribir ecuaciones linealescon dos variables. Usar la pendiente para identificar rectasparalelas y perpendiculares. Usar la pendiente y ecuacioneslineales con dos variables para modelar y resolver problemasreales. Por qu debe aprenderlo Las ecuaciones lineales con dosvariables se pueden usar para modelar y resolver problemas reales.Por ejemplo, en el Ejercicio 129 de la pgina 36 se ve una ecuacinlineal para modelar inscripciones de estudiantes en la PennsylvaniaState University. Forma pendiente-interseccin de la ecuacin de unarecta La grfica de la ecuacin es una recta cuya pendiente es m ycuya interseccin con el eje y es 0, b. y mx b 24 Captulo 1Funciones y sus grficas www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 42. Una vez determinada la pendiente y lainterseccin con el eje y de una recta, es re- lativamente mssencillo trazar su grfica. En el siguiente ejemplo, ntese queninguna de las rectas es vertical. Una recta vertical tiene unaecuacin de la forma Recta vertical La ecuacin de una recta verticalno se puede escribir en la forma porque la pendiente de una rectavertical no est definida, como se indica en la Figura 1.30.Graficar una ecuacin lineal Trace la grfica de cada una de lassiguientes ecuaciones lineales. a. b. c. Solucin a. Como lainterseccin con el eje y es Adems, como la pendiente es la rectasube dos unidades por cada unidad que la recta se mueva a laderecha, como se ve en la Figura 1.31. b. Al escribir esta ecuacinen la forma se puede ver que la interseccin con el eje y es y lapendiente es cero. Una pendiente cero implica que la recta eshorizontal, es decir, no sube ni baja, como se ve en la Figura1.32. c. Al escribir esta ecuacin en forma pendiente-interseccinEscribir la ecuacin original. Restar x de cada lado. Escribir enforma pendiente-interseccin. se puede ver que la interseccin con eleje y es Adems, como la pendiente es la recta baja una unidad porcada unidad que la recta se mueva a la de- recha, como se muestraen la Figura 1.33. Cuando m es 0, la recta es horizontal Cuando mes negativa, la recta baja FIGURA 1.32 FIGURA 1.33 Ahora trate dehacer el Ejercicio 17. m 1, 0, 2. x 1 2 3 4 5 2 1 3 4 5 (0, 2) m =1 y y = x + 2 x 1 2 3 4 5 1 3 4 5 (0, 2) m = 0 y = 2 y Ejemplo 1 y1x 2 y x 2 x y 2 0, 2 y 0x 2, m 2, 0, 1.b 1, x y 2 y 2 y 2x 1 y mxb x a. x 1 2 4 5 1 2 3 4 5 (3, 5) (3, 1) x = 3 y FIGURA 1.30 Lapendiente no est definida x 1 2 3 4 5 2 3 4 5 (0, 1) m = 2 y = 2x +1 y Cuando m es positiva, la recta sube FIGURA 1.31 Seccin 1.3Ecuaciones lineales con dos variables 25 www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 43. Hallar la pendiente de una recta Dadauna ecuacin de una recta, se puede hallar su pendiente si seescribe en forma pen- diente-interseccin. Si no nos dan unaecuacin, an es posible hallar la pendiente de una recta. Supongamosque se desea hallar la pendiente de la recta que pasa por los pun-tos y como se ve en la Figura 1.34. Al moverse de izquierda aderecha a lo largo de esta recta, un cambio de unidades en direccinvertical corres- ponde a un cambio de unidades en direccinhorizontal. y La razn a representa la pendiente de la recta quepasa por los pun- tos y Cuando esta frmula se usa para lapendiente, el orden de sustraccin es impor- tante. Dados dos puntossobre una recta, tenemos libertad de marcar cualquiera de elloscomo y el otro como pero, una vez hecho esto, se debe formar elnumerador y el denominador usando el mismo orden de sustraccin.Correcto Correcto Incorrecto Por ejemplo, la pendiente de la rectaque pasa por los puntos (3, 4) y (5, 7) se puede calcular como obien, invirtiendo el orden de sustraccin en numerador ydenominador, como x1, y1 x2, y2 .x1, y1 x2 x1y2 y1 m 4 7 3 5 3 2 32 . m 7 4 5 3 3 2 m y2 y1 x1 x2 m y1 y2 x1 x2 m y2 y1 x2 x1 x2, y2,y2 y1 x2 x1 elevacin corrimiento Pendiente cambio en y cambio en xx2 x1 el cambio en x corrimiento y2 y1 el cambio en y elevacin x2x1 y2 y1 x2, y2,x1, y1 Pendiente de una recta que pasa por dospuntos La pendiente m de la recta no vertical que pasa por y esdonde x1 x2. m y2 y1 x2 x1 x2, y2x1, y1 x y (x2, y2) x2 x1 y2 y1 y2(x1, y1) x1 x2 y1 FIGURA 1.34 26 Captulo 1 Funciones y sus grficaswww.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 44. Hallar lapendiente de una recta que pasa por dos puntos Encuentre lapendiente de la recta que pasa por cada par de puntos. a. y b. y c.y d. y Solucin a. Haciendo y , resulta una pendiente de Vea Figura1.35. b. La pendiente de la recta que pasa por y es Vea Figura1.36. c. La pendiente de la recta que pasa por y es Vea Figura1.37. d. La pendiente de la recta que pasa por y es Vea Figura1.38. Como la divisin entre 0 no est definida, la pendiente tampocolo est y la recta es vertical. FIGURA 1.35 FIGURA 1.36 FIGURA 1.37FIGURA 1.38 Ahora trate de hacer el Ejercicio 31. Ejemplo 2 x 211 43 2 4 (3, 4) (3, 1)1 1 Pendiente no definida y x (0, 4) (1, 1) m =5 y 1 2 3 4 1 1 2 3 4 x (2, 2)(1, 2) m = 0 y 12 1 2 3 1 1 3 4 x (3,1) (2, 0) m = 1 5 y 12 1 2 3 1 1 2 3 4 m 1 4 3 3 3 0 . 3, 13, 4 m 14 1 0 5 1 5. 1, 10, 4 m 2 2 2 1 0 3 0. 2, 21, 2 m y2 y1 x2 x1 1 0 32 1 5 . x2, y2 3, 1x1, y1 2, 0 3, 13, 41, 10, 4 2, 21, 23, 12, 0Seccin 1.3 Ecuaciones lineales con dos variables 27 Ayuda de lgebraPara hallar las pendientes del Ejemplo 2, es necesario que elestudiante pueda evaluar expresiones racionales. En el Apndice A.4se pueden repasar las tcnicas para ello. En las Figuras 1.35 a1.38, ntense las relaciones entre la pendiente y la orientacin dela recta. a. Pendiente positiva: la recta sube de izquierda aderecha b. Pendiente cero: la recta es horizontal c. Pendientenegativa: la recta baja de izquierda a derecha d. Pendiente nodefinida: la recta es vertical www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 45. Escribir ecuaciones lineales con dosvariables Si es un punto sobre la recta de pendiente m y escualquier otro punto sobre la recta, entonces Esta ecuacin, en laque aparecen las variables x y y, se puede reescribir en la formaque es la forma punto-pendiente de la ecuacin de una recta. Laforma punto-pendiente es ms til para hallar la ecuacin de unarecta. El estu- diante debe recordarla. Usar la formapunto-pendiente Encuentre la forma punto-pendiente de la ecuacin dela recta que tiene una pendiente de 3 y pasa por el punto SolucinUse la forma punto-pendiente con y Forma punto-pendiente Sustituirpor Simplificar. Escribir en forma pendiente-interseccin. La formapendiente-interseccin de la ecuacin de la recta es La grfica deesta recta se ilustra en la Figura 1.39. Ahora trate de hacer elEjercicio 51. La forma punto-pendiente se puede usar para hallaruna ecuacin de la recta que pase por dos puntos y Para hacer esto,primero encuentre la pendiente de la recta y a continuacin use laforma punto-pendiente para obtener la ecuacin Forma de dos puntosEsto a veces se conoce como forma de dos puntos de la ecuacin deuna recta. Ejemplo 3 y y1 y2 y1 x2 x1 x x1. x1 x2m y2 y1 x2 x1 ,x2, y2.x1, y1 y 3x 5. y 3x 5 y 2 3x 3 m, x1 y y1.y 2 3x 1 y y1 mxx1 x1, y1 1, 2.m 3 1, 2. y y1 mx x1 y y1 x x1 m. x, yx1, y1 Formapunto-pendiente de la ecuacin de una recta La ecuacin de la rectacon pendiente m que pasa por el punto es y y1 mx x1. x1, y1 x 1 1 312 3 4 (1, 2) 5 4 3 2 1 1 y = 3x 5 y FIGURA 1.39 28 Captulo 1Funciones y sus grficas Cuando encuentre una ecuacin de la rectaque pase por dos puntos determinados, slo necesita sustituir lascoordenadas de uno de los puntos en la forma punto- pendiente. Noimporta cul punto se escoja porque ambos darn el mismo resultado.www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 46. Rectas paralelasy perpendiculares La pendiente se puede usar para determinar si dosrectas no verticales en un plano son paralelas, perpendiculares oninguna de ellas. Hallar rectas paralelas y perpendicularesEncuentre las formas pendiente-interseccin de las ecuaciones de lasrectas que pasan por el punto y son (a) paralelas y (b)perpendiculares a la recta . Solucin Escribiendo la ecuacin de larecta dada en forma pendiente-interseccin Escribir la ecuacinoriginal. Restar 2x de cada lado. Escribir en formapendiente-interseccin. se puede ver que tiene una pendiente de comose muestra en la Figura 1.40. a. Cualquier recta paralela a larecta dada tambin debe tener una pendiente de Por tanto, la rectaque pasa por que es paralela a la recta dada tiene la siguienteecuacin. Escribir en forma punto-pendiente. Multiplicar cada ladopor 3. Propiedad distributiva Escribir en formapendiente-interseccin. b. Cualquier recta perpendicular a la rectadada debe tener una pendiente de porque es el recproco negativo deEntonces, la recta que pasa por que es perpendicular a la rectadada tiene la siguiente ecuacin. Escribir en forma punto-pendiente.Multiplicar cada lado por 2. Propiedad distributiva Escribir enforma pendiente-interseccin. Ahora trate de hacer el Ejercicio 87.Ntese en el Ejemplo 4 cmo se usa la forma pendiente-interseccinpara obtener informacin acerca de la grfica de una recta, mientrasque la forma punto-pendiente se usa para escribir la ecuacin de unarecta. 2x 3y 5 3 2 2, 1 2, 1 Ejemple 4 y 3 2x 2 2y 2 3x 6 2y 1 3x 2y 1 3 2x 2 2 3. 3 2 y 2 3x 7 3 3y 3 2x 4 3y 1 2x 2 y 1 2 3x 2 2 3.m 2 3, y 2 3x 5 3 3y 2x 5 2x 3y 5 2, 1 Rectas paralelas yperpendiculares 1. Dos rectas no verticales son paralelas si y slosi sus pendientes son iguales. Esto es, 2. Dos rectas no verticalesson perpendiculares si y slo si sus pendientes son recprocas nonegativas entre s. Esto es, m1 1m2. m1 m2. TECNOLOGA En unacalculadora de grficas, las rectas no parecern tener la pendientecorrecta a menos que use una pantalla que tenga ajuste cuadrado.Por ejemplo, trate de graficar las rectas del Ejemplo 4 usando elajuste estndar y A continuacin reajuste la pantalla con el ajustecuadrado de y En cul ajuste parecen perpendiculares las rectas y ?y3 2 x 2 y 2 3 x 5 3 6 y 6. 9 x 9 10 y 10. 10 x 10 x 1 4 5 3 2 (2,1) 1 1 2x 3y = 5 y = x y = x + 2 2 3 7 3 2 3 y FIGURA 1.40 Seccin1.3 Ecuaciones lineales con dos variables 29 www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 47. Aplicaciones En problemas reales, lapendiente de una recta se puede interpretar como una razn o tasa.Si el eje x y el eje y tienen la misma unidad de medida, entoncesla pendiente no tiene unidades y es una razn. Si el eje x y el ejey tienen diferentes unidades de medi- da, entonces la pendiente esuna tasa o razn de cambio. Usar una pendiente como razn La mximapendiente recomendada en una rampa para sillas de ruedas es Unnego- cio est instalando una rampa para sillas de ruedas que sube22 pulgadas sobre una longitud horizontal de 24 pies. La rampa estms inclinada que lo recomendado? (Fuente: Americans withDisabilities Act Handbook) Solucin La longitud horizontal de larampa es 24 pies, o sea 288 pulgadas, como se ve en la Figura 1.41.Entonces, la pendiente de la rampa es Como la pendiente de la rampano est ms inclinada que lo recomendado. FIGURA 1.41 Ahora trate dehacer el Ejercicio 115. Usar la pendiente como razn de cambio Unacompaa fabricante de aparatos de cocina determina que el costototal en dlares de producir x unidades de una licuadora es Ecuacinde costo Describa el significado prctico de la interseccin con eleje y y la pendiente de esta recta. Solucin La interseccin con eleje y nos dice que el costo de producir cero unidades es $3500. stees el costo fijo de produccin que incluye costos que deben serpagados cualquiera que sea el nmero de unidades producidas. Lapendiente de nos dice que el costo de producir cada unidad es $25,como se ve en la Figura 1.42. Los econo- mistas llaman costomarginal al costo por unidad. Si la produccin aumenta en unaunidad, entonces el margen, o cantidad extra de costo, es $25.Entonces, el costo aumenta a razn de $25 por unidad. Ahora trate dehacer el Ejercicio 119. m 25 0, 3500 1224 Ejemplo 6 Ejemplo 5 C 25x3500. 1 12 0.083, 0.076. 22 in. 288 in. Pendiente cambio verticalcambio horizontal 1 12. y 24 ft x 22 in. = $25m Costo marginal: x C1,000 3,000 2,000 4,000 6,000 5,000 8,000 7,000 10,000 9,000Costo(endlares) 50 100 150 Nmero de unidades Costo fijo: $3500 C x=25 + 3500 Manufactura FIGURA 1.42 Costo de produccin 30 Captulo 1Funciones y sus grficas www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 48. Casi todos los gastos empresariales sepueden deducir en el mismo ao en que ocurren. Una excepcin es elcosto de propiedad, que tiene una vida til de ms de 1 ao. Estoscostos deben depreciarse (disminuir de valor) en la vida til de lapropie- dad. Si la misma cantidad se deprecia cada ao, elprocedimiento recibe el nombre de depreciacin lineal o en lnearecta. El valor en libros es la diferencia entre el valor originaly la cantidad total de depreciacin acumulada a la fecha.Depreciacin en lnea recta Un colegio compr equipo para hacerejercicios valuado en $12 000 para el nuevo cen- tro deacondicionamiento fsico del plantel. El equipo tiene una vida tilde 8 aos. El valor recuperado al trmino de los 8 aos es de $2000.Escriba una ecuacin lineal que describa el valor en libros delequipo en cada ao. Solucin Representemos con V el valor del equipoal trmino del ao t. Se puede representar el valor inicial delequipo con el punto de datos y el valor recuperado del equi- po porel punto de datos La pendiente de la recta es que representa ladepreciacin anual en dlares por ao. Usando la forma punto-pen-diente se puede escribir la ecuacin de la recta como sigue.Escribir en forma punto-pendiente. Escribir en formapendiente-interseccin. La tabla muestra el valor en libros altrmino de cada ao, y la grfica de la ecuacin se muestra en laFigura 1.43. Ahora trate de hacer el Ejercicio 121. En numerosasaplicaciones prcticas, los dos puntos de datos que determinan larecta a veces se dan en forma disfrazada. Observe la forma en quelos puntos de datos se describen en el Ejemplo 7. m 2000 12 000 8 0$1250 Ejemplo 7 V 1250t 12 000 V 12 000 1250t 0 8, 2000. 0, 12 000Ao, t Valor, V 0 12 000 1 10 750 2 9500 3 8250 4 7000 5 5750 6 45007 3250 8 2000 t V 2000 4000 6000 8000 10 000 12 000 Valor(endlares)Nmero de aos 2 4 6 8 10 (8, 2000) V t= 1250 +12000 (0, 12000) Vidatil del equipo FIGURA 1.43 Depreciacin en lnea recta Seccin 1.3Ecuaciones lineales con dos variables 31 www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net 49. x Puntos dados Punto calculado yExtrapolacin lineal FIGURA 1.45 x Puntos dados Punto calculado yInterpolacin lineal FIGURA 1.46 10 20 30 40 50 60 6 121110987 Ao (62006) Ventas (enmilesdemillonesdedlares) Best Buy t y (6, 35.9) (7,40.0) y = 4.1t + 11.3 (10, 52.3) FIGURA 1.44 32 Captulo 1 Funcionesy sus grficas Pronosticar ventas Las ventas de Best Buy fueronalrededor de $35 900 millones de dlares en 2006 y $40 000 millonesen 2007. Usando slo esta informacin, escriba una ecuacin lineal qued las ventas (en miles de millones de dlares) en trminos del ao. Acontinuacin pronostique las ventas para 2010. (Fuente: Best BuyCompany, Inc.) Solucin Con represente 2006. Entonces los dosvalores dados estn representados por los puntos de datos y Lapendiente de la recta que pasa por estos puntos es Usando la formapunto-pendiente, se puede hallar que la ecuacin que relaciona lasventas y y el ao t es Escribir en forma punto-pendiente. Escribiren forma pendiente-interseccin. De acuerdo con esta ecuacin, lasventas para 2010 sern de (Vea Figura 1.44.) Ahora trate de hacer elEjercicio 129. El mtodo de prediccin ilustrado en el Ejemplo 8 sedenomina extrapolacin li- neal. Ntese en la Figura 1.45 que unpunto extrapolado no est entre los puntos dados. Cuando el puntoestimado se encuentra entre dos puntos dados, como se muestra en laFigura 1.46, el procedimiento recibe el nombre de interpolacinlineal. Como la pendiente de una recta vertical no est definida, suecuacin no se puede escribir en forma pendiente-interseccin. Noobst
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